13483: 【2023CSP-J 3】一元二次方程

题目背景

众所周知，对一元二次方程 $�{�}^2+��+�=0,(�\mathrm{\ne }0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��$，则:
  1. 若 $\mathrm{\Delta }<0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\mathrm{\Delta }\ge 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}$。

例如：

• ${�}^2+�+1=0$ 无实数解，因为 $\mathrm{\Delta }=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$。
• ${�}^2-2�+1=0$ 有两相等实数解 ${�}_{1,2}=1$。
• ${�}^2-3�+2=0$ 有两互异实数解 ${�}_1=1,{�}_2=2$。

在题面描述中 $�$ 和 $�$ 的最大公因数使用 $\gcd (�,�)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd (12,18)=6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $�,�,�$，其中 $�,�,�$ 均为整数且 $�\mathrm{\ne }0$。你需要判断一元二次方程 $�{�}^2+��+�=0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $�$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $�$ 和 $�$，满足 $�>0$，$\gcd (�,�)=1$ 且 $�=\frac{�}{�}$。

• 若 $�=1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $�$ 的值；

• 例如：

  • 当 $�=-0.5$ 时，$�$ 和 $�$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $�=0$ 时，$�$ 和 $�$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��<0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 $\mathrm{\Delta }\ge 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $�$，则：

   1. 若 $�$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $�$。

   2. 否则根据上文公式，$�$ 可以被唯一表示为 $�={�}_1+{�}_2\sqrt{�}$ 的形式，其中：

      • ${�}_1,{�}_2$ 为有理数，且 ${�}_2>0$；
      • $�$ 为正整数且 $�>1$，且不存在正整数 $�>1$ 使 ${�}^2\mid �$（即 $�$ 不应是 ${�}^2$ 的倍数）；

   此时：

   1. 若 ${�}_1\mathrm{\ne }0$，则按有理数的格式输出 ${�}_1$，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 ${�}_2=1$，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 ${�}_2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 ${�}_3=\frac{1}{{�}_2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 $�,�$ 满足 $�,�>1,\gcd (�,�)=1$ 且 ${�}_2=\frac{�}{�}$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入的第一行包含两个正整数 $�,�$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $�$ 行，每行包含三个整数 $�,�,�$。

输出 $�$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2